Bessonova comenzó a practicar gimnasia rítmica a los 5 años. Su padre, Vladimir Bessonov, fue jugador de fútbol en el Dynamo Kiev
y su madre, Viktoria Serikh, fue dos veces campeona del mundo de
gimnasía rítmica, en la modalidad de conjuntos. A pesar de que su madre
prefería que practicara ballet, Anna escogió practicar gimnasia rítmica.
Fue entrenada por Albina e Irina Deriugina (campeona del mundo en los años 1977 y 1979), ambas madre e hija respectivamente, en la conocida mundialmente Escuela Deriugins, en la capital ucraniana.
En el verano de 2002, Anna ganó su primera medalla de oro como
miembro del equipo ucraniano, en Nueva Orleans, con su rutina de cinta.
Posteriormente, en el mismo año, quedo en primera posición con el aro,
la cuerda y las mazas, en el torneo celebrado en Stuttgart.
Anna Bessonova estuvo durante sus años en activo, en la cima de la
gimnasia ritmica de élite, sólo superada en ocasiones, por las gimnastas
rusas. Quedó segunda en el mundial de Budapest (2003) y en el celebrado
en Bakú (2005).
En las olimpiadas celebradas en Atenas en 2004, quedó en tercera posición por delante de su compatriota Natalia Godunko.
Anna obtuvo una puntuación total 106.700 (cinta 26.725, mazas 26.950,
pelota 26.525, aro 26.500). La ganadora de la medalla de oro fue Alina Kabáyeva, seguida por su compatriota rusa, Irina Cháshchina que obtuvo la medalla de plata.
Anna se proclamó campeona del mundo en el Campeonato Mundial de Gimnasia Rítmica de 2007 celebrado en la ciudad griega de Patras, donde ganó el oro en la final general.
En las olimpiadas celebras en Pekín en el 2008 también ganó la medalla de bronce, quedando por detrás de la rusa Evgenia Kanayeva y de la bielorrusa Inna Zhukova. La puntuación de Anna fue de 71.875 (cuerda 17.975, aro 17.775, mazas 17.900, cinta 18.225).
Se retiró en el año 2009, en el Campeonato Mundial de Gimnasia Rítmica de 2009 celebrado en Mie.
